하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - 복잡한 수식없이 수의 합 단번에 구하기독일 수학자 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss·1777~1855)가 10살 때 그의 수학교사가 학생들에게 1+2+3+…+100을 구하는 문제를 냈다. 수학천재 가우스는 머뭇거리지 않고 5050이라는 정답을 말해 선생님을 놀라게 했다고 한다. 어린 가우스는 1+100=101, 2+99=101, 3+98=101... 50+51=101의 패턴을 발견하고 합하여 101이 되는 50개의 쌍을 이용하여 50×101=5050의 방법으로 간단히 답을 얻었다. 이것을 그림으로 표현하면 그림 1과 같다.
위의 생각을 일반화하면 1+2+3+…(n-1)+n을 구할 때, 1+n=2+(n-1)=3+(n-2)=…n/2+(n/2+1)를 만족하는 n/2개의 쌍을 생각할 수 있으므로 1+2+3+…n=n/2×(n+1)이다. 그런데 이와 같은 방법은 n이 짝수일 때만 설명이 가능하다는 단점을 지닌다. 다음 방법은 이런 단점을 보완한 좋은 방법이다.
그림 2와 같이 1+2+3+…10을 삼각형 모양으로 배열하고 이 삼각형을 뒤집어 붙이면 가로의 길이가 (10+1)이고 세로의 길이가 10인 직사각형을 얻을 수 있고 이 직사각형을 이루는 점의 개수는 (10+1)×10이므로 1+2+3+…+10=10×(10+1)/2이다. 이를 일반화하면 수식 1 .복잡한 수식을 동원하지 않아도 간단한 그림 하나로 수의 성질을 설명하는 방법은 참 흥미롭다.
아래의 그림 3은 홀수를 차례로 n개 더할 때 1+3+5+…+(2n-1)=n²을 설명한 것이다.
(a)와 같이 홀수를 차례로 L자 모양으로 배열하면 정사각형 모양을 얻을 수 있으므로 1+3+5+…(2n-1)=n²
(b)와 같이 1+3+5+…(2n-1)을 1+2+3+…+n과 1+2+3+…+(n-1)의 두 개의 삼각수로 쪼개고 이것을 뒤집어 붙이면 한 변의 길이가 n인 정사각형을 얻을 수 있으므로 1+3+5+…(2n-1)=n²을 얻는다.
이와 같은 생각을 입체로 확장해보자. 1+2=3, 4+5+6=7+8, 9+10+11+12=13+24+15… 식의 맨 앞 수는 모두 제곱수인 점을 감안해서 일반화시키면 수식 2
조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.배시원 쌤의 신나는 영어여행 - 크리스마스 캐럴로 배우는 문법 ; santa claus is coming to town은 '무서운' 노래?
흔히 had better를 ‘~하는 게 더 좋다’라고 번역하는데, 사실 이 표현은 무언가를 하지 않았을 경우 너에게 안 좋은 일이 생길 수도 있다는 협박(?)의 의미를 담고 있습니다. 예를 들어, 밤새 게임을 하는 경우 “너 당장 방에 가서 자는 게 좋을 걸?”의 뉘앙스라고 보시면 됩니다. 따라서 santa claus is coming to town은 미취학 아동들에게는 정말 무서운 노래인데, 가사를 보면 충격을 금할 수 없습니다.
You better watch out (넌 조심하는 게 좋을 거야)
You better not cry (넌 울지 않는 게 좋을 거야)
You better not pout I’m telling you why
(넌 삐쭉거리지 않는 게 좋을 거야. 내가 그 이유를 알려줄게)
Santa Claus is coming to town (산타클로스가 우리 마을에 오시거든)
뛰어가다 넘어져 까진 무릎에 피가 철철 나는 것을 보고, 울음이 터진 귀여운 꼬마 Jack에게 아버지는 귀에다 대고 위의 가사를 조용히 읊조립니다. 그럼 아이는 금방 울음을 멈추지요. 크리스마스에 나만 산타 할아버지에게 선물을 못 받는 것보다 슬픈 일은 없을 테니까요. 2절 가사는 더 무시무시해서 생략하겠습니다.
또, Last Christmas의 가사는 다음과 같습니다.
Last Christmas (지난 크리스마스에)
But the very next day you gave it away
(그렇지만 바로 다음날 당신은 날 거절해 버렸죠)
그런데 the very는 강조 용법으로 사용되었기 때문에 the very next day는 ‘바로 다음날’이란 뜻이 됩니다. 텝스 문법 문제로도 자주 나오는데, 역시 실시간으로 정답을 맞히기 위해서는 한 번 불러보는 게 제일 좋겠지요. 참고로 ‘게이샤의 추억’에서도 주인공이 회장님을 처음 본 밤을 the very night 이라고 표현합니다. 역시 문법은 예문으로 공부하는 게 제 맛입니다.
겨울왕국의 let it go를 부르며 ‘사역동사 let은 목적보어로 원형부정사를 쓰는구나’라는 사실을 떠올리는 것은 정말 웃긴 일이겠지만 정확히 말하고 쓸 수 있다면 문법 문제가 반드시 어렵지만은 않을 것입니다. 메리… 아니 미리 크리스마스입니다~^^*
배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.
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