중학교에서 처음 배우는 함수는 보통 이렇게 시작합니다. 
그리고 선생님은 말합니다. “ 
에 어떤 수를 넣으면, 그에 따라 
값이 하나로 정해지는 관계를 함수라고 합니다.” 학생들은 고개를 끄덕입니다. 그리고 이렇게 생각하죠. “아, 함수는 식이구나.” 그런데 정말 그럴까요?사실 고대 사람들도 함수와 비슷한 생각을 했습니다. 천문학자들은 날짜에 따라 달라지는 별의 위치를 표로 정리했습니다. 날짜를 넣으면 위칫값이 하나 나옵니다. 입력을 하면, 결과가 나오는 것이죠. 하지만 그들은 이것을 ‘함수’라고 부르지 않았습니다. 함수는 이미 존재하고 있었지만, 아직 이름을 얻지 못한 상태였습니다.
17세기, 데카르트는 좌표평면을 도입합니다. 그리고 곡선이 식으로 표현되기 시작했죠. 직선은
원은 
과 같은 식들입니다. 그리고 18세기, 오일러는 
라는 기호를 사용하기 시작합니다. 함수는 점점 사람들에게 ‘식’으로 인식되게 됩니다.그런데 여기서 현대의 함수가 가지는 중요한 약속을 하나 들여다봐야 합니다. 바로
하나에 하나가 나온다는 점이죠. 왜 꼭 하나여야 할까요?예를 들어
을 넣었더니 가 7이기도 하면서 동시에 10이기도 하다면 어떻게 될까요? 그럼 이런 질문이 나오지 않을까요? “그래서 3을 넣으면 도대체 뭐가 나오는 거지?”함수를 자판기처럼 생각해 보면 쉽습니다. 동전 하나를 넣으면 음료 하나가 나옵니다. 그런데 동전 하나를 넣었더니 콜라도 나오고 사이다도 동시에 튀어나온다면? 이게 유용할까요?
그 기계는 예측할 수 없습니다. 수학은 예측 가능성을 중요하게 생각합니다. 같은 입력에서 결과가 항상 같아야 계산도 할 수 있고, 그래프도 그릴 수 있습니다. 그래서 함수는 약속합니다. 입력 하나에 출력 하나. 이 조건 덕분에 함수는 안정적인 구조를 갖게 됩니다.
사실 여러 값이 나오는 관계도 있습니다. 위의 원의 방정식에서
이면 는 1일 수도 있고 -1일 수도 있습니다. 그래서 이 식은 “ 를 의 함수”라고 부르지 않습니다. 그 대신 이렇게 나눌 수 있습니다.
또는 
으로 말이죠. 그래프로는 위쪽 반원과 아래쪽 반원이며, 이들은 각각 함수가 됩니다. 함수가 아닌 조금 복잡한 관계를 ‘하나씩 나누어’ 함수로 다루는 방식인 셈입니다. 하지만 여전히 함수는 식의 모습으로 보입니다.19세기에 들어서면서 수학자들은 더 넓게 생각하기 시작합니다. 예를 들어 이런 규칙도 가능합니다. “자연수
에 대해가 짝수이면 0이고 가 홀수이면 1이다.” 또는 “실수 에 대해 가 유리수면 1이고 가 무리수면 0이다.” 그래프는 매끈하지도 않고, 보기에도 복잡합니다. 하지만 두 예시 모두 함수라고 할 수 있습니다. 각 에 대해 가 하나로 정해지기 때문입니다. 그러니까 식의 형태가 아니어도 함수인 것이죠. 수학자 디리클레는 이렇게 정리합니다. “각 에 대해가 단 하나로 정해지기만 하면 함수다.” 이 순간, 함수는 ‘ 와 가 들어간 식’이 아니라 ‘ 와 사이의 관계’가 됩니다.그렇다면 우리는 왜 함수를 배울까요? 시험문제를 풀기 위해서일까요? 조금 더 생각해보면, 함수는 단지 식이 아닙니다. 함수는 이렇게 묻습니다. 무엇이 무엇에 따라 변하는가?
속도는 시간에 따라 변합니다. 온도는 계절에 따라 변하고, 키는 나이에 따라 자랍니다. 지리적 조건에 따라 문화가 변하고, 시간의 흐름에 따라 국가의 흥망성쇠가 달라집니다. 우리가 무언가를 공부할 때 정말 중요한 것은 대상을 배우는 것이 아니라 대상 사이의 관계를 배우는 것입니다.
즉 함수는 세상을 ‘관계’로 보는 눈을 길러줍니다. 또한 함수는 변화를 이해하게 해줍니다. 그래프를 보면 빠르게 변하는 구간과 천천히 변하는 구간이 보입니다. 그리고 예측할 수 있게 합니다. 지금의 흐름이 이어지면 다음은 어떻게 될지 생각해볼 수 있습니다. 무엇보다 함수는 생각을 정리하게 해줍니다. 입력 하나에 결과 하나. 이 간단한 구조는 우리의 사고를 깔끔하게 만듭니다.
우리는 중학교에서 함수를 식처럼 배웁니다. 하지만 역사를 따라가보면 함수는 식에서 시작해 예측 가능성을 중점으로 정의되고, 그에 따라 포함하는 대상이 점점 넓어졌습니다. 공식이 없어도 되고, 그래프가 매끈하지 않아도 됩니다. 단 하나의 조건만 남았기 때문이죠. 같은 입력값에서 결괏값은 하나라는 것.
어쩌면 함수는 세상이 항상 하나의 답만 준다고 믿기에 만들어진 개념이 아니라, 우리가 생각을 정리하기 위해 하나로 정한 ‘약속’인지도 모릅니다. 다음에 함수 단원을 공부하다 뭔가 이해가 안 된다 싶으면 이 질문을 한번 떠올려보면 어떨까요? 나는 지금 식을 배우는 걸까, 아니면 관계를 배우는 걸까? 그리고 어쩌면 이렇게 덧붙일 수 있을지도 모릅니다. 나는 지금 계산하는 법을 배우는 걸까, 아니면 이해하는 방식을 배우는 걸까?