서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 이차곡선을 이용하여 삼등분각 그리기
지난 호에서 3대 작도불가능 문제 중의 하나인 삼등분각 문제를 다뤘다. 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로는 작도가 불가능하지만, 작도불가능하다는 것이 증명될 때까지 수없이 많은 수학자들이 이 문제를 해결하기 위해 도전했다. 원이 아닌 다른 곡선을 이용해 삼등분각을 그린 다양한 시도가 있었는데, 고등학교 교과서에 나오는 곡선을 이용한 시도를 소개한다.
먼저 [그림 1]과 같이 포물선(y=x^2)을 이용하여 삼등분각을 그릴 수 있다.
① 중심이 원점, 반지름이 2인 원이 x축, y축과 만나는 점을 각각 B, C라 하자. 위의 점 A에 대하여 각 AOB의 삼등분각을 구하자.
② A에서 y축에 내린 수선의 발을 D라 하자. C를 지나고 y축에 수직인 직선 위에 길이가 선분 AD의 반이 되는 점을 O’라 하자.
③ O’를 중심으로 하고 원점 O를 지나는 원이 포물선과 만나는 점을 P라 하자.
④ P에서 x축에 그은 수선이 원 O와 만나는 점을 X라 하자.
⑤ 각 XOB가 각 AOB의 삼등분각이다.
다음은 쌍곡선을 이용한 삼등분각 그리는 방법이다. 이 방법은 기원전 300년께 그리스 수학자 파푸스에 의해 제시된 것으로 쌍곡선의 이심률을 이용한 것이다. 이차곡선의 이심률은 초점에 이르는 거리와 준선에 이르는 거리의 비를 말한다. [그림2]와 같이 이심률이 2인 쌍곡선을 이용해 삼등분각을 그릴 수 있다.
① A에서 각 AOB의 이등분선에 내린 수선의 발을 D라 하자.
② 선분 AD의 삼등분점 중 D에 가까운 점을 P라 하자.
③ 점 A와 B를 초점으로 하고 P를 지나는 쌍곡선과 원 O가 만나는 점을 X, Y라 하자.
④ 각 XOY가 각 AOB의 삼등분각이다.
파푸스의 방법을 응용하면 이심률이 n인 쌍곡선을 이용하여 (n+1)등분각을 그릴 수 있다. 타원을 이용해 삼등분각을 그리는 방법이 있는지 생각해 보자.
■김국인 선생님
김국인 선생님은 현재 서울과학고등학교에 근무하신다. 서울대에서 수학교육을 전공하였으며 서울대 대학원에서 수학교육으로 석사학위를 받았다.
배시원 쌤의 신나는 영어여행 - Oxford Cambridge
수능이 며칠 안 남았습니다. 많은 학생이 마지막까지 혼신의 힘으로 최선을 다하고 있을 텐데, 오늘은 잠깐 마음의 여유를 갖고 쉬어 가는 의미로 영국과 미국의 명문 대학에 대해 알아보도록 하겠습니다.
우선 많은 분이 아는 것처럼 영국을 대표하는 대학으로는 Oxford와 Cambridge가 있습니다. 그런데 원래는 이 두 이름 모두 명문 단과 대학이 모여 있는 도시 이름이랍니다. Oxford는 황소(ox)가 건널 수 있는 얕은 개울(ford)에서, Cambridge는 케임 강(Cam River)에 연결된 아름다운 다리(bridge)가 있어 이런 이름이 유래되었다고 하네요.
그런데 신기하게도, 미국의 최고 명문대인 Harvard와 MIT가 있는 도시 이름도 Cambridge랍니다. 위에서 말씀드린, 영국의 학술도시 Cambridge에서 따온 이름인데, Harvard와 MIT가 있으니 그 이름값을 톡톡히 하고 있다고 해도 과언이 아니라고 생각합니다.
Harvard를 비롯해 Brown, Columbia, Cornell, Dartmouth, Pennsylvania, Princeton, Yale 이렇게 미국 동부의 최고 명문 대학 8개를 Ivy League라고 합니다. 이 대학들을 Ivy League로 칭한 이유에는, 이들 대학교에 담쟁이덩굴(Ivy)로 덮인 건물이 많은 데서 유래되었다고 하는 이야기와 Harvard, Yale, Princeton, Columbia 처음에 이 네 학교로 이루어진 리그를 로마숫자 IV(4)로 표기했는데, 이것을 영어 철자로 발음한 데서 유래되었다는 속설이 있습니다.
Ivy League에 상대되는 개념으로 Seven Sisters라는 표현도 있습니다. 미국의 명문 여대를 가리키는 말인데, 아이비리 ?8개 대학은 코넬 대학을 제외하고는 1960년대까지 남학생만 다니는 학교였습니다. 그래서 그에 맞추어 7개의 여자 대학이 설립되어 Seven Sisters라는 명칭으로 불리게 되었다고 합니다.
하버드 대학을 나왔다고 알려진, [헬렌 켈러] 역시 사실은 하버드 부속의 Radcliffe College 출신이고, 영화 [Love Story(러브 스토리]의 주인공 올리버와 제니퍼도 각각 하버드와 래드클리프에 다니는 대학생으로 도서관에서 처음 본 순간부터 사랑에 빠지게 됩니다.
우리 학생들이 지원하는 모든 대학이 세계 명문 대학으로 우뚝 서길 기원하며, 이 시간에도 열심히 공부하는 학생들 홧팅 또 홧팅입니다~!!!
■ 배시원 선생님
배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 고려대 등 대학과 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원에서 토익·토플을 강의했다.
[한경닷컴 바로가기] [스내커] [슈퍼개미] [한경+ 구독신청] ⓒ '성공을 부르는 습관' 한경닷컴, 무단 전재 및 재배포 금지