하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - 자연상수 е 무리수 일까?
상수е는 스위스 수학자 레온하르트 오일러의 이름을 따서 ‘오일러의 수’라고 부르기도 한다. 로그 계산법을 도입한 스코틀랜드 수학자 존 네이피어의 이름을 따 ‘네이피어 상수’라고도 한다. 하지만 е는 자연로그의 밑이기 때문에 흔히 자연상수라고 한다.
고교 자연계 수학교과서를 통해 자연상수 е가 다음 수식 1과 같이 정의됨을 배웠을 것이다. 이제 이항정리를 이용하여 수식 1의 우변을 전개한 다음 극한의 성질을 이용하여 이 식을 정리하면 수식 2와 같다. 수식 2는 지수함수의 테일러 급수인 수식 3에 κ=1을 대입한 것과 같다.
이와 같이 정의되는 자연상수는 е=2.71828182845904523……으로 순환하지 않는 무한소수 즉 무리수라고 학교에서 배웠다. 하지만 그 증명은 배우지 않고 넘어갔을 것이다. 이제 이 자연상수 е가 정말로 무리수인지 증명해보자. 귀류법을 이용한다면 고교 과정 수준으로 충분히 이해할 수 있다.
자연상수 е유리수라 가정하자. 즉 수식 4와 같다고 하고 이 식의 양변에 p!을 곱하자. 수식 5 이 때 k≤p 이면 p!/k!은 자연수이므로 수식 5의 우변에서 수식 6은 자연수이다. 이때 우변의 나머지 부분을 정리하면 수식 7 과 같다. p가 자연수이므로 1/p＜1이다. 이는 양변 모두 자연수여야 한다는 사실에 모순이므로 자연상수 е는 무리수다.
■ 조계성 선생님
조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.
배시원 쌤의 신나는 영어여행 - Complementary vs complimentary
‘님’이라는 글자에 점 하나를 찍으면 ‘남’이 되고, ‘돈’이라는 글자에 받침 하나 바꾸면 ‘돌’이 되듯이, ‘아’ 다르고 ‘어’ 다른 것이 바로 언어의 묘미입니다. 그래서 오늘은 헷갈리는 어휘들에 대해 알아보도록 하겠습니다.
complement는 ‘보충하다’라는 뜻입니다. 명사로 ‘보충물’ ‘보어’라는 뜻도 있지요. 하지만 compliment는 ‘칭찬하다’라는 뜻입니다. 따라서 complementary가 되면 ‘보충하는’이란 뜻이 되지만 complimentary가 되면 ‘칭찬하는’이란 뜻이 된답니다. 그런데 complimentary에는 ‘무료의’라는 뜻도 있기 때문에 complimentary beverages라고 하면 ‘무료 음료’를 뜻한답니다. 또 It’s on the house도 ‘공짜’라는 뜻이기 때문에 외국에서 이 표현을 들으셨다고 해서 절대 옥상위로 올라가시면 안 됩니다~!!!
‘문구’라는 뜻의 단어는 stationery지만 stationary는 ‘정지된’이란 뜻이랍니다. 우리가 ‘역’이라고 알고 있는 station이 동사로 ‘~에 두다, 배치하다’의 뜻이거든요. 그래서 stationary bicycle이라고 하면 ‘실내용 자전거’가 된답니다.
slender는 ‘날씬한’이란 뜻으로 slim의 동의어이지만 slander는 ‘비방하다, 욕하다’라는 뜻을 가진 전혀 다른 단어랍니다. 그런데 예전에 텝스에 ‘비난하다’라는 단어를 찾는 문제가 나왔었는데, 많은 학생이 놀랍게도 slender를 정답으로 골랐답니다. slander가 보기에 없었다는 이유로 말이지요. vilify라는 단어가 정답이었는데, 설령 이 어려운 단어를 모른다고 하더라도 slender를 정답으로 고르면 안 되겠지요.
끝으로 succeed를 ‘성공하다’라는 뜻으로 쓰고 싶다면 주로 in과 함께 써야 합니다. succeed to가 되면 ‘계승하다’의 뜻이 되어 버리거든요. 그래서 successful은 ‘성공적인’이란 뜻이지만 successive는 ‘연속하는’이란 뜻이 된답니다. 참고로 successive는 토익과 텝스 정답으로도 잘 나오니 꼭 기억해주세요~!!!
너무 헷갈리고 어렵다고요? 하지만 ‘소녀시대’와 ‘수녀시대’를 헷갈려하는 사람은 없습니다. 그리고 우리나라에 관심이 있는 외국인이라면 ‘남한’과 ‘북한’을 헷갈려하지는 않겠지요. 네, 이 세상에 쉬운 단어와 어려운 단어는 존재하지 않습니다. 나와 친한 단어와 낯선 단어만 있을 뿐….
■ 배시원 선생님
배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.
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