하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - 신문지 100장 42번 접은 두께, 달까지 닿는다
종이접기만 잘해도 쉽게 달나라까지 갈 수 있다. 지구에서 달까지의 거리가 384,000㎞라고 할 때, 여행자는 종이에 편안하게 올라 앉아 있고 종이를 반으로 접어 올리는 것을 42번만 반복하면 여행자는 어느새 달에 도착하게 된다. 좀처럼 실감이 나지 않는 얘기다. 신문지 100장의 두께를 대충 1㎝ 정도(한 장이 0.1㎜ 정도)로 생각하고 반으로 접을 때 두께가 어떻게 변하는지 한 번 계산해보자.
10번 접으면 그 두께는 수식 1 여기에 10번을 더 접어 20번 접으면 그 두께는 102.4ｍ(약 0.1㎞)가 되고 30번을 접으면 두께가 102.4
㎞이므로 대략 100㎞, 40번 접으면 두께가 102,400㎞이므로 대략 100,000㎞가 된다. 여기에 1번 더 좋어 41번 접으면 200,000㎞가 되는 식이다. 이렇게 어림잡아 계산해도 42번만 접으면 달을 뚫고 지나가게 된다. 같은 방식으로 51번 접으면 태양까지 도달하는 두께가 되고, 81회 접으면 안드로메다 은하 크기와 거의 같은 두께가 된다.
실제로 종이를 반으로 계속해서 접어 본 적이 있는가? 10번을 목표로 신문지를 접어봐도 기껏해야 5~6번 접기도 힘이 든다. 종이를 접다 보면 접을 때마다 접혀지는 모서리 부분이 생기는데 이 부분이 차지하는 넓이가 의외로 크다. 따라서 반으로 접을 때마다 넓이는 0.5배보다 더 큰 비율로 줄어들게 돼 종이를 접을수록 사각형 모양을 유지하지 못하고 찌그러지게 마련이다. 이런 이유로 종이가 아무리 크고 얇아도 8번 이상 접을 수 없다는 게 세간의 통념이다.
그런데 미국의 브리트니 걸리반이라는 한 여고생은 이런 통념을 깨고 12번을 접어 보여 주위를 깜짝 놀라게 했다. 뿐만 아니라 이 여고생은 종이를 접을 때 필요한 종이의 두께와 길이, 너비 사이의 관계를 찾아내 발표(한 쪽 방향으로 접을 때와 번갈아 접을 때로 나누어 공식을 발표)하였다.
두께가 t이고 길이가 L인 종이를 한 쪽 방향으로 접을 때 n번 접을 때 필요한 종이의 최소 길이를 구해보자.
1. 한 번 접을 때: (그림 1) 과 같이 한 번 접을 때 생기는 접히는 부분의 호의 길이는 πt이다. 종이의 길이는 최소 πt이어야 한다.
2. 두 번 접을 때 : 접히는 부분에 반지름이 2t인 반원 하나와 반지름이 t인 반원 두 개가 들어가므로 종이의 길이는 최소 4πt이어야 한다.
3. 세 번 접을 때 :(그림 2) 둘레의 길이가 각각 4πt인 반원이 1개, 3πt인 반원이 1개, 2πt인 반원이 2개, πt인 반원이 3개 있어야 하므로 종이의 최소 길이는 이들을 모두 합한 14πt 보다는 길어야 한다.
한 쪽 방향으로 접을 때 필요한 종이의 최소길이는 πt , 4πt , 14πt…와 같은데 브리트니는 이 수열의 일반항을 구한 것이다. 수식 2
조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.
배시원 쌤의 신나는 영어여행 -insurmountable·introvert·ambivalent…
지난 시간에 이어 이번 수능에 나왔던 단어들 대해 알아보도록 하겠습니다. 올해 수능 영어 21번에는 insurmountable이라는 단어가 나왔는데, 길기는 하지만 어원으로 알아보면 전혀 어려운 단어는 아닙니다.
일단 mount가 ‘언덕’ 혹은 ‘오르다’의 뜻인 것은 다 아시죠? 그런데 sur이라는 접두사는 ‘위의’라는 뜻을 가지고 있답니다. 그래서 표면을 surface라고 하는 것이지요. 그러고 보니 ‘표면’이란 단어에도 얼굴 면(面)/face가 들어있네요. 이런 원리에 의해 surmount는 되면 ‘오르다’ ‘극복하다’의 뜻이 되고, 여기에 ‘할 수 있다’의 접미사 able이 붙게 되면 surmountable이란 단어가 생기는 것이지요.
이제 거의 다 왔네요. 마지막으로 반대의 의미를 나타내는 in만 맨 앞에 붙여주면 insurmountable이란 단어가 되고, 당연히 뜻은 ‘극복할 수 없는’이 됩니다. 네, 이처럼 어원을 통해 단어를 바라보면 우리가 어렵게 느끼는 단어들도 쉽게 이해할 수 있습니다.
39번에서도 introvert와 extrovert라는 단어가 나오는데, vert가 기본적으로 ‘돌다’ ‘방향을 바꾸다’의 의미를 가지고 있으므로 우리가 잘 아는 단어인 convert가 ‘변화시키다’의 뜻이 되는 것이랍니다. 나중에 기회가 될 때 자세히 설명하겠지만, con이 ‘완전히’의 뜻도 가지고 있거든요. 그래서 introvert는 안쪽 방향을 나타내니 ‘내성적인 사람’이 되고, extrovert는 바깥쪽으로 돌게 되니 ‘외향적인 사람’이란 뜻이 된답니다.
또한 ambi는 2(둘)의 뜻을 가지고 있어 ambivert라고 하면 당연히 ‘양면적인 사람’이 되는 것이지요. 그래서 ambiguous가 ‘애매한’이란 뜻을 가지고 있고, ambivalent가 ‘양면적인’, ‘모순의’란 뜻이 되는 것이랍니다. 참고로 작년 수능 B형 35번에 ambivalent가 나왔었지요.
끝으로 하나 더 알아보면 ambi의 친구 중에 amphi라는 단어도 있습니다. 그래서 amphibian이 ‘양서류’라는 뜻을 갖게 된 것입니다. 물과 땅 양쪽 모두에서 사는 동물을 양서류라고 하잖아요. 아, 여기에도 둘 양(兩)자가 숨어있네요. 뜻글자인 한자를 통해 어려운 단어들 쉽게 이해하듯, 어원을 통해 고급 어휘들을 쉽게 익힐 수 있다는 사실 잊지 마세요~!!!
배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.
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