하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - 돌 줍기 게임
오늘은 한 무더기 바둑돌을 준비하여 옆에 있는 동생과 함께 재밌고 간단한 게임을 해보자.
게임 규칙
1.갑부터 시작하여 갑과 을이 번갈아 가며 돌을 한 개 이상 가져간다.
2.차례가 되어 돌을 가져올 때는 방금 전에 상대방이 집어간 돌 개수의 두 배 이하로 가져와야 한다.
3.마지막 돌을 집어간 사람이 승리한다.
4.맨 처음 시작하는 사람은 돌을 다 집어갈 수 없다.
간단한 게임이지만 잘 생각하고 분석하면 승률을 높일 수 있을 것이다. 필승의 전략을 찾아내기 위해 적은 개수의 돌멩이를 이용하여 분석해보자.
(1) 돌멩이가 1개이면 게임 자체가 성립하지 않는다. (2) 2개인 경우 무조건 을이 이긴다. (3) 3개인 경우도 져 주기로 작정하지 않은 이상 을이 이긴다. (4) 4개인 경우에는 갑이 처음에 1개를 집어 3개를 남겨놓으면 갑이 이긴다. (5) 5개인 경우 갑은 두 개 이상 집으면 바로 패하므로 무조건 한 개만 집어야 한다. 하지만 이 경우 을이 한 개를 집으면 그 뒤로는 외길 수순이 되어 을이 이기게 된다. (6) 6개인 경우 역시 갑은 처음에 2개 이상을 집지 못한다. 한 개만 집어야 하므로 5개가 남게 되는데 위에서 갑과 을이 바뀐 경우이다. 즉 승자는 갑이다. (7) 7개인 경우 갑이 한 개를 집는다면 여섯 개가 남아 바로 위에서 살펴보았듯이 을이 이기게 된다. 이때, 2개를 집으면 5개가 남게 되고 위에서 살펴보았듯이 갑이 이길 수 있다. (8) 8개인 경우 갑이 3개 이상을 집으면 곧바로 지게 되므로 1개나 2개를 집어야 하는데 앞서 두 경우를 뒤집어 생각하면 최선의 대응을 할 경우 승자가 을임을 알 수 있다.
여기서 잠깐! 처음 돌멩이의 개수가 2, 3, 5, 8개인 경우 최선의 전략을 세우면 B가 이긴다는 것을 알 수 있다. 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… 해법은 바로 ‘피보나치 수열’ 안에 있다. 상대방에게 피보나치수에 해당하는 바둑돌을 남겨줄 수만 있다면 게임에서 이길 수 있다.
예를 들어 12개의 바둑돌을 가지고 게임을 시작했다고 하자. 처음에 갑이 몇 개의 돌을 집어가야 게임에서 이길 수 있을까? 12보다 작은 피보나치 수는 8이므로 을에게 8개를 남기게 되면 갑이 이길 수 있다. 그런데 처음부터 4개를 집어오면 오히려 게임에서 바로 지게 되므로 12개와 8개의 차에 해당하는 4개짜리 게임에서 우선 이겨 상대방에게 8개를 남겨놓으면 갑이 반드시 이기게 된다. 그럼 20개로 시작했다면 갑은 처음에 몇 개를 가져와야 할까? 상대방에게 13개를 남겨주어야 하므로 우선은 20개와 13개의 차에 해당하는 7개짜리 게임을 진행한다고 생각하면 된다. 위에서 살펴보았듯이 갑은 처음에 2개를 집어오면 된다. 이제 비법을 터득했는가? 그렇다면 엄마 아빠에게 내기를 신청해보는 것도 괜찮을 것 같다. 참으로 피보나치수열이 품고 있는 매력은 그 끝을 가늠하기 힘들다.
조계성
조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.
배시원 쌤의 신나는 영어여행 - Three score years and ten은 도대체 몇 년이야?
Three score years and ten은 도대체 몇 년일까요? 아주 가끔이지만, 시소가 영어로 뭐냐고 묻는 학생이 있습니다. seesaw라고 답해주면 ‘유레카’를 외치고, 밀림이 영어로 뭐냐고 물으면 rain forest부터 많은 답이 나오지만 jungle은 생각보다 쉽게 나오지 않더군요. 물론 정글이 영어로 뭐냐고 묻는 학생도 있습니다.
‘베일에 가려진’이란 표현을 쓰다 veil이 영어란 사실을 알려주면 패닉 상태에 빠지기도 하고, 끝판왕 격에 해당하는 바자회가 사실 bazaar라는 단어를 그대로 외래어처럼 쓴다는 사실을 알면 자신의 국어 실력에 의심을 품기도 합니다. 또한 해먹(hammock)의 해자도 바다 해자는 아니겠지요~^^.
요즘 캠핑이 대세여서 자주 쓰는 말인 비박(bivouac) 역시 우리말이 아닙니다. 반대로 죽부인은 영어로 Dutch wife라고 합니다. 우리나라의 죽부인이 일본을 거쳐 네덜란드를 통해 영국에 전해진 것이 그 어원이라고 하네요. 참고로 영어로는 bread인 빵은 포르투갈어로 일본을 통해 우리나라에 유입된 단어입니다. company가 com(함께)+pany(빵)를 먹는 사람들이란 뜻에서 나온 말이라 동료 혹은 회사란 뜻이 있는데, 우리나라에서도 [한솥밥을 먹는다]라는 표현이 있는 걸 보면 ‘역시 사람은 다 똑같구나’라는 생각이 듭니다.
또 우리 생활에서 흔히 쓰이는 포르투갈어로는 영어로 mummy라고 쓰이는 [미라]도 있습니다.
그럼 다시 처음으로 돌아가 three score years and ten은 도대체 몇 년일까요? score는 고대인들이 숫자를 셀 때 손가락과 발가락을 총동원했으므로, 20이라는 뜻이 있습니다. 따라서 3×20+10=70…네 70년입니다. 그리고 영어 성경에 나오는 표현으로 보통 인간(의 수명)을 지칭합니다. 마틴 루터킹 목사님 연설 I have a dream에서도 five score years란 표현이 나오는데 당연히 100년이라는 뜻이겠지요. 이처럼 어휘는 반드시 문장 속에서, 그리고 상황 속에서 익혀야 하는데 그 나라의 언어는 그 나라 사람들의 문화와 역사, 가치관을 담고 있기 때문에 그 나라 사람들의 사고방식과 생활양식을 이해하는 것이 중요합니다. 뭐…이것을 어원론으로 바꿔 얘기해도 좋고요~^^*
우리 주변에 생각보다 많은 영어 단어들이 있습니다. 세계에서 가장 위대한 언어 중 하나인 한글을 쓰는 민족으로서 불필요한 사용으로, 우리말이 영어에 오염되면 안 되지만 의외로 우리는 영어를 배우기 쉬운 환경에서 살고 있답니다~^^*
배시원
배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.